Спектральный анализ сигналов. Цифровая обработка сигналов на ARM7-микроконтроллерах Преобразование фурье на микроконтроллере

Носимая электроника ,

DIY или Сделай сам

В предыдущей мы подключали дешевый китайский LCD экран к плате STM32L4 Discovery . Теперь мы попробуем реализовать на этой комбинации что-то выходящее за рамки традиционного моргания светодиодом, а именно анализатор звукового спектра, который использует имеющийся на плате микрофон. Заодно я расскажу, как пользоваться операционной системой FreeRTOS, и зачем она нужна, а также почему в нотной октаве 12 нот, и чем 53 ноты лучше, чем 12.

Оцифровка звука

Мы хотим получать сигнал с микрофона, вычислять его спектр с помощью быстрого преобразования Фурье (FPU нам в помощь) и показывать результат на LCD в виде "цветного водопада". Силу звука будем кодировать цветом. Будем рисовать с краю дисплея строку пикселей, где самый левый пиксель будет соответствовать минимальной частоте, а самый правый - максимальной, при этом предыдущая картинка будет смещаться на одну строку, освобождая место для новой строки. Наш микроконтроллер слишком сложен, чтобы начать с нуля, поэтому начнем с примера из комплекта STM32Cube, который называется DFSDM_AudioRecord. Что такой DFSDM? Это Digital Filter for Sigma-Delta Modulation. Дело в том, что в отличие от старых добрых аналоговых микрофонов, тот, что стоит на плате Discovery, выдает сигнал не в виде напряжения, пропорционального звуковому давлению, а в виде последовательности нулей и единиц с тактовой частотой в несколько мегагерц. Если пропустить эту последовательность через фильтр низких частот, то получится тот самый аналоговый сигнал. В предыдущих моделях микроконтроллеров приходилось делать цифровой фильтр, чтобы получить звуковой сигнал в цифровом виде. Теперь в микроконтроллере есть специальный модуль для этого, и все, что требуется, - это настроить его на старте программы. Для этого можно или углубиться в чтение документации, или воспользоваться готовым примером. Я пошел по второму пути. Следующая картинка иллюстрирует внутреннюю структуру программы DFSDM_AudioRecord.

Оцифрованный звук с помощью DMA попадает в кольцевой буфер. DMA вызывает прерывание дважды: один раз - когда буфер заполнен наполовину, второй раз - когда он заполнен полностью. Процедура обработки прерываний просто выставляет соответствующий флажок. Функция main() после инициализации исполняет бесконечный цикл, где проверяются эти флажки и, если флажок выставлен, копируется соответствующая половина буфера. Пример копирует данные в другой буфер, откуда они, опять-таки с помощью DMA, отправляются на усилитель наушников. Я оставил эту функциональность, добавив вычисление спектра звукового сигнала.

Когда задач много

Прямолинейный способ добавить новую функциональность в наш код - добавить еще флажков и написать функции, которые будут вызываться, если эти флажки выставлены. В результате обычно получается каша из флажков, функций-обработчиков и глобального контекста, который вынужден быть глобальным, поскольку решение одной задачи разбивается на множество мелких шагов, реализованных отдельными функциями - обработчиками событий. Альтернативный способ - поручить управление задачами операционной системе, например FreeRTOS. Это позволяет значительно упростить логику за счет того, что каждая задача решается в рамках своего цикла обработки событий, которые взаимодействуют друг с другом посредством функций операционной системы. Например, мы можем добавить задачу обработки данных в виде отдельного цикла, который будет ждать готовности данных на синхронизационном примитиве - семафоре. Семафор устроен очень просто: вы можете пройти его, если флажок поднят, при этом флажок автоматически опускается. Поднимет флажок в нашем случае источник данных, когда подготовит данные для другой задачи. Подобным образом можно создавать произвольные цепочки из задач-источников данных и задач-потребителей данных подобно тому, как это происходит, например, в операционной системе линукс.

Конечно, одновременность исполнения задач - это иллюзия, особенно, когда вычислительное ядро всего одно. В этом случае мы можем говорить о том, что у нас есть единственный поток исполнения программы процессором. Семафоры, как и другие синхронизационные примитивы, играют роль волшебной кроличьей норы, в которую проваливается поток исполнения, чтобы вынырнуть в другой задаче.

Подключить FreeRTOS к своему проекту достаточно просто. Нужно лишь заменить бесконечный цикл, которым обычно заканчивается функция main() в микроконтроллере, на вызов osKernelStart(). После этого компилятор объяснит вам, чего именно ему не хватает для компиляции. Все действия, которые вы до этого выполняли в цикле, нужно перенести в отдельную задачу и зарегистрировать ее с помощью вызова xTaskCreate. После этого вы сможете добавить еще столько задач, сколько захотите. Нужно иметь ввиду, что между вызовами xTaskCreate и osKernelStart лучше не размещать никакого кода, работающего с железом, поскольку здесь системный таймер может работать неправильно. Вызов обработчика таймера операционной системы osSystickHandler() нужно добавить в SysTick_Handler(), а две функции SVC_Handler и PendSV_Handler убрать из своего кода, поскольку они реализованы в коде ОС. При регистрации задач важно не ошибиться с размером стека. Если он окажется слишком мал, вы получите краши в самых неожиданных местах. Первым при переполнении стека страдает сама структура, описывающая задачу. В IAR есть возможность посмотреть список задач. Если вы видите в нем задачу с измененным именем, значит нужно увеличить размер стека.

Вычисляем спектр

Для вычисления спектра мы воспользуемся быстрым преобразованием Фурье. Соответствующая функция уже есть в библиотеке. Она получает буфер, заполненный комплексными данными, и формирует результат там же. Соответственно, на входе ей нужен буфер, где оцифрованный звук чередуется с нулями (комплексная часть 0). На выходе мы получаем комплексные числа, для которых сразу вычисляем квадрат модуля, сложив квадраты действительной и мнимой части. Мы делаем это только для половины буфера, поскольку спектр симметричен. Вторая половина нам понадобилась бы, если бы мы захотели сделать обратное преобразование, но для простого показа спектра она не нужна. Некоторые дополнительные усилия необходимы для того, чтобы иметь возможность вычислять спектр в разных спектральных диапазонах. Чтобы получить спектр для низких частот, я аккумулирую данные за несколько циклов чтения буфера, эффективно снижая частоту дискретизации звука, которая изначально составляет 44.1kHz. В итоге получается 6 диапазонов - 20kHz, 10kHz, 5kHz, 2600Hz, 1300Hz, 650Hz. Для переключения диапазонов используется джойстик и отдельная задача. Джойстик также выполняет функции запуска / останова "водопада", а также регулировки чувствительности. Показывать спектр удобнее в логарифмических единицах (децибелах), поскольку его динамический диапазон обычно весьма велик, и в линейном масштабе мы сможем различить лишь самые сильные составляющие спектра. Логарифм считается довольно долго даже на FPU, поэтому я заменил реальный логарифм кусочно-линейной аппроксимацией, которую легко получить, зная формат представления числа в float32 . Старший бит - это знак. Следующие 8 бит - двоичная экспонента плюс 127. Оставшиеся биты - это дробная часть мантиссы при том, что целая часть равна 1 (нюансы денормализованных чисел для простоты опустим). Значит, выделив из float32 экспоненту и прихватив несколько старших бит мантиссы, можно получить неплохую аппроксимацию логарифма. Полученное число мы с помощью предварительно заготовленной таблицы преобразуем в RGB код для показа на LCD. Получается цветовая шкала на 90 или 60 децибел. Уровень громкости, соответствующий нулю этой шкалы, можно настраивать, нажимая джойстик вверх и вниз.

Выводим картинку - о пользе чтения даташитов

Теперь нам осталось вывести картинку и оживить наш "водопад". Прямолинейный способ сделать это - хранить картинку со всего экрана в буфере, обновлять ее там и перерисовывать каждый раз, когда появляются новые данные. Мало того, что это решение крайне неэффективное, у нас еще и недостаточно памяти, чтобы хранить всю картинку. Казалось бы, у самой LCD достаточно памяти для этого, и она должна уметь делать с ней что-то интересное. Действительно, изучение даташита позволило обнаружить доселе никем не использованную команду скроллинга, которая позволяет динамически менять способ отображения памяти контроллера LCD на экран. Представим себе, что память - это замкнутая в кольцо лента, которую вы видите под стеклом экрана. Команда Vertical Scrolling Start Address (0x37) позволяет задать позицию на ленте, соответствующую верхнему краю экрана. Значит, все, что нам нужно, чтобы оживить "водопад" - это записать в эту позицию новый спектр и прокрутить ленту памяти. Соответствующий код был добавлен в драйвер LCD, позаимствованный у уважаемого Peter Drescher , и адаптированный как описано . Единственный недостаток подобного подхода: скроллинг работает только вдоль длинной стороны экрана. Соответственно, для вывода спектра доступна только короткая сторона.

Почему в октаве 12 нот?

Перейдем к практическим применениям нашего устройства. Первое, что легко увидеть на спектре, это гармоники, то есть частоты, кратные частоте основного тона. Особенно много их в голосе. Есть они и в звуках, которые издают музыкальные инструменты. Легко понять, почему ноты соседних октав различаются по частоте в 2 раза: тогда ноты более высокой октавы совпадают по частоте со второй гармоникой нот низкой октавы. Говорят, что при этом они звучат «в унисон». Чуть сложнее разобраться в том, почему в октаве 12 нот - семь основных (белые клавиши на клавиатуре фортепьяно) плюс 5 дополнительных (черные клавиши). Дополнительные ноты обозначаются через основные с диезными и бемольными знаками, хотя по сути никакой разницы между ними и основными нотами нет - все 12 нот образуют геометрическую прогрессию так, что отношение частот между соседними нотами равно корню 12-й степени из 2. Смысл такого деления октавы на ноты в том, чтобы для любой ноты нашлись другие ноты, отличающиеся от нее по частоте в полтора раза - такая комбинация называется квинтой. Ноты, образующие квинту, звучат в унисон потому, что вторая гармоника одной ноты совпадает по частоте с третьей гармоникой другой ноты. На фото ниже показаны спектры нот До и Соль, образующих квинту, совпадающие гармоники обведены желтым.

Как же получилось, что нот 12? Поскольку ноты образуют геометрическую прогрессию, перейдем к логарифмам. ln(1.5)/ln(2) = 0.58496… Близкое значение получается у дроби 7/12 = 0.583… То есть, семь полутонов (интервалов между соседними нотами) оказываются весьма близки к квинте - 1.498. Интересно, что гораздо большую точность дает дробь 31/53 = 0.58491.., так что квинта отличается от 1.5 только в пятом знаке после запятой. Этот факт не остался незамеченным, но музыкальные инструменты с 53 нотами в октаве не получили распространения. Их сложно настраивать, на них сложно играть, а процент людей, способных почувствовать разницу с обычными инструментами, исчезающе мал.

Теорема Фурье гласит, что любой сигнал можно разложить в ряд по ортонормированному набору периодических функций (например, по синусам и косинусам) с частотами кратными частоте периодического сигнала. Таким образом, в основе спектрального анализа сигнала лежит поиск весовых коэффициентов (в общем случае комплексных), модуль которых соответствует доли мощности колебаний соответствующей гармоники, вносимой в общую суперпозицию всех гармоник.

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье - это алгоритм вычисления, который успешно использует свойства периодичности тригонометрических функций для того, чтобы избежать ненужных вычислений в дискретном преобразовании Фурье (ДПФ), за счёт чего быстрее осуществляется поиск коэффициентов в разложении Фурье. Основное отличие от дискретного преобразования заключается лишь в методе вычисления числовых значений (алгоритме), а не в самой обработке сигнала. И в случае БПФ, и в случае ДПФ результат вычислений один и тот же . Единственным требованием для алгоритма БПФ является размер выборки, кратный N = 2L, где L - любое положительное целое число. Наиболее распространёнными алгоритмами БПФ по основанию 2 являются: с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте.

В данной работе реализован алгоритм БПФ по основанию 2 с прореживанием по времени (алгоритм Кули - Тьюки). Его легко получить, исследуя некоторые закономерности ДПФ. Введём так называемый поворотный коэффициент:

В этом случае в ДПФ коэффициенты Фурье для ряда значений сигнала {f0,f1,…,fN-1} выражаются соотношением:

Рассмотрим ряд сигнала из 4 значений: {f0,f1,f2,f3}. Представим преобразование Фурье в матричном виде (нормировочный коэффициент 1/N внесён в вектор-столбец Сij в правой части выражения):

Расписав поворотные коэффициенты по формуле Эйлера и определив их значения при k = 0, 1, 2,.. 9, можно построить диаграмму (Рис. 2), из которой видна закономерность повторяющихся коэффициентов.

Рисунок 2. Степенной ряд w для N=4

Подставляя численные значения в (4) получим:

То есть значения w, начиная с w4, равны соотвествующему значению от w0 до w3. Далее перепишем матричное уравнение (4) в нестандартном виде (подобные обозначения введены для наглядности дальнейших операций):

Поменяем местами столбцы матрицы, разделив её на две группы: по чётным f0, f2 и нечётным f1, f3 индексам:

Учтём, что wk+1 = wkw1, тогда выражение (6) перепишется в виде:

Используя соотношения:

Получаем искомые коэффициенты разложения в виде вектора-столбца со значениями ячеек:

Графическое изображение алгоритма (Рис. 3) похоже на бабочку с распахнутыми крыльями, поэтому этот метод вычисления называют «бабочкой».

Рисунок 3. Граф «Бабочка» для ряда из 4 членов

Итак, на первом шаге алгоритма идёт разбиение по чётным и нечётным индексам членов ряда значений сигнала. Затем выполняется граф «бабочка», он состоит из двух ступеней, их количество равно степени двойки объёма выборки (N = 4 = 22). На каждом ступени выполняется по две «бабочки» и их общее количество неизменно. Каждой операции «бабочка» соотвествует одна операция умножения. Для сравнения: в ДПФ с выборкой {f0,f1,f2,f3} операцию умножения необходимо было бы выполнить 4Ч4 = 16 раз, а в случае БПФ всего лишь 4 раза .

В качестве устройства отображения используется двухстрочный символьный ЖК индикатор. Основным моментом при реализации данного проекта является не аппаратная часть, а программная, точнее реализация дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на 8-разрядном микроконтроллере. Сразу следует отметить, что автор не является экспертом в этой области и поэтому начал с основ - с простого дискретного преобразования Фурье. Алгоритм быстрого преобразования Фурье является не только быстрым, но и достаточно сложным.

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) - это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путем дискретизации (выборки значений из непрерывных функций).

Принципиальная схема анализатора спектра звукового сигнала очень проста и условно ее можно разделить на цифровую часть и аналоговую.

Цифровая часть образована микроконтроллером и подключенным к нему ЖК индикатором. Микроконтроллер тактируется от кварцевого резонатора 16 МГц, в качестве опорного напряжения для АЦП микроконтроллера используется напряжение питания +5 В.
Шина данных ЖК индикатора подключена к порту C микроконтроллера (линии ввода/вывода PC0-PC3), шина управления подключена к порту D(PD5, PD6) микроконтроллера. Индикатор работает в 4-битном режиме. Переменный резистор номиналом 4.7 кОм используется для регулировки контрастности. Для работы с индикатором были созданы пользовательские символы для отображения 8 горизонтальных столбиков анализатора, эти пользовательские символы занимают все 64 Байта ОЗУ ЖК индикатора.

Микроконтроллер работает от внешнего кварцевого резонатора 16 МГц.

Аналоговая часть устройства - это самая важная часть и представляет собой предварительный усилитель сигнала электретного микрофона, выход которого подключается к каналу ADC0 встроенного в микроконтроллер АЦП. Уровень нуля на входе АЦП нам необходимо установить равным точно половине опорного напряжения, т.е. 2.5 В. В этом случае мы сможем использовать положительную и отрицательную полуволну сигнала, но его амплитуда не должна превышать установленный предел, т.е. коэффициент усиления должен быть точно настроен для предотвращения перегрузки. Всем вышеуказанным условиям отвечает распространенная микросхема низкопотребляющего операционного усилителя .

Алгоритм ДПФ несколько медленнее в сравнении с быстрым преобразованием Фурье. Но наш анализатор спектра не требует высокой скорости, и если он способен обеспечить скорость обновления около 30 кадров в секунду, этого будет более чем достаточно для визуализации спектра звукового сигнала. В любом случае, в нашем варианте возможно достичь скорости 100 кадров в секунду, но это уже слишком высокое значение параметра для двухстрочного символьного ЖК индикатора и оно не рекомендуется. Частота дискретизации равна 20 кГц для 32 точечного дискретного преобразования Фурье и поскольку результат преобразования симметричен, нам нужно использовать только первую половину, т.е. первые 16 результатов. Следовательно, мы можем отображать частотный спектр в диапазоне до 10 кГц и разрешение анализатора составляет 10 кГц/16 = 625 Гц.

Автором конструкции были предприняты попытки увеличения скорости вычисления ДПФ. Если это преобразование имеет N точек, то мы должны найти N2/2 значений синуса и косинуса. Для нашего 32 точечного преобразования необходимо найти 512 значений синуса и косинуса. Но, прежде чем найти их нам необходимо вычислить угол (градусы), что займет некторое процессорное время, поэтому было решено использовать для этих вычислений таблицы значений. При расчетах в программе микроконтроллера не используются вычисления с плавающей точкой и числа двойной точности (double), так как это займет больше времени на обработку на 8-разрядном микроконтроллере. Вместо этого значения в таблицах поиска используются 16-разрядные данные целочисленного типа (integer), умноженные на 10000. Затем после выполнения преобразования результаты делятся на 10000. При таком подходе имеется возможность выполнять 120 32-точечных преобразований в секунду, что более чем достаточно для нашего устройства.

Демонстрация работы анализатора спектра на микроконтроллере ATmega32

Загрузки

Исходный код (программа микроконтроллера, таблицы данных синуса, косинуса и угла) -

• Понятно, что на АВР-ке дальше светомузыки сложно уехать, не те параметры. Но 120 32-точечных преобразований в секунду для большинства задач может быть достаточно. А выборку 625Гц, можно конечно и другую взять, по точнее потеряв частоту обновления. Стоит отметить, что МК будет себя плохо чувствовать, в плане производительности мало что на него еще навешаешь. Но тут можно же организовать выдачу результата по аппаратным методам передачи данных. Тогда это будет вспомогательный МК, а основной будет только принимать с него данный и обрабатывать совместимо с другими процессами. По большому счету все же в частоту проца упирается. Когда-то получалось разгонять мегу выше 20 МГц, но для этих задач наверно получим только глюки на высоких частотах. Идея хороша, только бы больше мат части расписано было бы... именно ее реализация на МК
• я и поинтересней анализаторы делал: You Tube или вариант на цветном ЖКИ: You Tube в основе знаменитая библиотека Чена:)
• "нам необходимо вычислить угол (градусы)" А может кто-нибудь подробнее рассказать как рассчитываются значения для этих таблиц?
• С таблицей синусов и косинусов все понятно. Не понятно как рассчитываются значения в таблице degree_lookup?

Теория

Для начала немного теории. Как известно все в подобных анализаторах используется быстрое преобразование Фурье и часто говорится, что ДПФ в подобных конструкция использовать нельзя, только БПФ да и то в на ассемблере. Я же использовал вместо этого дискретное преобразование Фурье(ДПФ) и преобразование по Уолшу. И в этой статье докажу, что можно использовать даже не только БПФ, а ДПФ написанный на С. Но сначала по порядку как из ДПФ получить простую функцию ДПФ и по Уолшу. ДПФ классически выглядит следующим образом:

Так как у мк мало ресурсов, то заменяют cos и sin на массивы размерностью N. Кроме того мк 8 разрядный и целесообразнее массивы хранить в виде 8 разрядных значений. Так как cos и sin меняется от -1 до 1, то лучше всего это диапазон увеличить в 127 раз, так как переменная 8 разрядная знаковая может хранить в себе значения от -127 до 127. Таким образом с учетом преобразований формулы будет:

где m меняется от 0 до N-1 с шагом равный k, когда m становится больше N, m уменьшают на N-1. Всего испльзуется 12 каналов, так что мк по силу ДПФ на такое маленькое количество каналов.

Например имеем 512 отсчетов АЦП нужно посчитать мнимую и действительную части для 150Гц при частоте дискретизации 19200 Гц:

Таким образом реальная и мнимая части получаются гораздо быстрее нежели традиционным способом, но в 127 раз больше. Для того, чтобы получить их реальный значения нужно поделить на 127, но у мк нет деления, поэму гораздо рациональнее будет не делить, а сдвинуть! Один сдвиг эквивалентен делению на 2. То есть если сдвинуть7 раз число то по сути поделили на 128! Так как потери в точности уже были неизбежны, то деление на 128 картины не изменит.

Дискретное преоразование Фурье для 150 Гц при частоте дискретизации 19200 Гц тогда выглядит следующим образом:

Для Уолша заменяем синусоиду и косинусоиду на меанды соответствующих периодов. То есть для sin от 0 до 180 градусов будет 1 а от >180 до 360 будет -1. Соответственно для синуса от 0 до 90 это 1, от 90 до 270 это -1 и от 270 до 360 это 1. Тем самым все вычисление мнимой и действительной части будут простым накапливанием сумм и разностей значения АЦП. То есть когда например синус равен 1, то значение АЦП прибавляется, а когда -1 отнимается. Недостаток такого решения заключается опять же в погрешности, которая неизбежно увеличивается и достигает 20%. Но так как в моей конструкции всего 8 значений то опять же существенно разницы мало кто заметит.

Пример реализации расчета мнимой и действительной части для 150 Гц при частоте дискретизации 19200 и 512 отсчетов:

Таким образом получаем довольно быстро мнимые и действительные части без процедур умножения.

И так получив мнимую и действительную части необходимо найти амплитуду спектра. Для этого необходимо найти корень из сумм квадратов мнимой и действительной части. Но если воспользоваться функцией из библиотеки math извлечение получится долгим и функция к тому же съест не хилый кусок от ПЗУ. Немного покопавшись в интернете я нашел элегантную функцию которую потом еще немного упростил в силу того, что она оперирует маленькими значениями. Вот это функция:

Сравнив эту функцию и функцию из библиотеки math пришел к выводу, что ее точности вполне хватает, чтобы результат был одинаков. Сама функция весит 2% против 12% от ПЗУ мк. Кроме того вычисляет гораздо быстрее.

Но как же получилось, что мк успевает расчитать 12 каналов да еще и в ДПФ. Кроме всех ухищрений со сдвигом вместо деления и быстрой функции квадрата есть еще одна уловка. Про которую я сейчас раскажу. Дело в том, что чем выше частота выделения тем уже полоса пропускания фильтра, так как переход cos и sin убыстряется и число периодов растет. А чем больше таких проходов cos и sin тем уже полоса пропускания. Например для частоты 150 Гц cos и sin повторяются 4 раза, а для 1,2 кГц cos и sin повторяются уже 32 раза. Отсюда видно, что для того чтобы на всех диапазонах полоса пропускания была равномерной и охватывал всех диапазон частот число отсчетов с ростом частоты фильтрации надо уменьшать. Например для 150 Гц бурутся все 512 отсчетов, для 600 Гц 256 отсчетов, а для 2,4 кГц 32 отсчета и так далее. Не трудно заменитить, что уменьшая число отсчетов с ростом частоты круто увеливается скорость ДПФ, так как умножений и сумм уже нужно делать гораздо меньше.

Практическая реализация

И так теоретическая часть подготовлена можно приступать к описанию конструкции. Вся конструкция состоит из одного микроконтроллера, 4-х транзисторов, нескольких конденсаторов и много резисторов. Резисторов лучше поставить много, хотя можно ограничиться только резисторами по горизонтали, т.е. по одному на каждый вывод порта. Схема классическая кроме единственного, что я использовал по 3 порта за 1 проход динамической развертки вместо 1 как везде делают. Это позволило уменьшить частоту развертки и уменьшить число транзистров до 4. Получилась фактически шкала на 24х4.

Анализатор спектра работает на частоте дискретизации 19,2 кГц от кварца на 16 МГц.

Анализатор спектра рассчитывает спектральные амплитуды следующих частот:

9,6 кГц, 4,8 кГц, 2,4 кГц,1,6 кГц, 1,2 кГц, 800 Гц, 600 Гц, 500 Гц, 400 Гц, 300 Гц, 150 Гц, 75 Гц. Программа проверялась и для 33 Гц и ДПФ успевал при тома что размерность cos и sin становится равный 512, но решил ограничится 75 Гц.

Здесь имеются частоты которые не кратны 2 в n-й степени, но тем не менее вычисляются. Например 400 Гц при делении на 19200 получаем 48 которое не кратно 2 в степени n. Выход из положение я выбрал взяв близкое число к числу 2 в степени n. Наиболее близкое это 240 оно близко к 256. То есть из 512 мы взяли только 240 отсчетов. Кроме того нельзя просто взять просто близкое. Например мы могли взять и 480 которое близко к 512, но тем не менее взяли близкое к 256. Объяснение этому в том, что на разных частотах число отсчетов влияет на полосу пропускания. Чем больше число отсчетов тем уже полоса пропускания. Связано это с тем что на высокой частоте косинус проходит гораздо быстрее период нежели на низкой и амплитуда вычисляется на столько точно, что соседние частоты просто выбрасываются и между частотами образуются слепые зоны частот которые анализатором не воспринимаются. Для того, чтобы анализатор воспринимал все частоты и охватывал весь спектр необходимо на высоких частотах расширить полосу взяв меньше отсчетов, а на низких как можно больше сузить взяв отсчетов соответственно больше. Таким образом на путем практического подбора числа отсчетов я подобрал такие:

9,6 кГц 16 отсчетов, 4,8 кГц 32 отсчета, 2,4 кГц 32 отсчета, 1,6 кГц 60 отсчетов, 1,2 кГц 64 отсчета, 800 Гц 240 отсчетов, 600 Гц 256 отсчетов, 500 Гц 252 отсчета, 400 Гц 240 отсчетов, 300 Гц 512 отсчетов, 150 Гц 512 отсчетов, 75 Гц 512 отсчетов.

Таким выбором числа отсчетов удалось полосу равномерной по всему диапазону частот.

Еще один подводный камень получился на частоте 9,6 кГц. Так как мнимой части нет(это легко проверить подставив в формулу выше при 512 отсчетах 256 номер спектра и синус будет всегда равен 0), то реальная часть может достаточно сильно изменяться за счет того, что значение косинуса будет вычисляться через раз в противофазе к основному сигналу. То есть будет вычисляться раз. Для того, чтобы этого не было необходимо вычислить хотя бы 2 значения реальной части сдвинутой на 90 градусов и выбрать максимальный из двух значений.

Алгоритм программы накопление 512 отсчетов в промежутке перевод мк в режим сна и пробуждение когда очередной отсчет готов. Кроме того 150 Гц происходит развертка светодиодов - это раз в 128 от частоты дискретизации в 19200. То есть до того как ацп снимет все отсчеты он успеет полностью провести одну полную развертку. Как только все отсчеты готовы в основном цикле программы происходит вычисление всех амплитуд спектра. В это время развертка продолжается, но мк не впадает в сон, а считает амплитуды. Как только амплитуды посчитаны мк переводится в сон и программа повторяется заново. Амплитуды рассчитываются исходя из 20 дб диапазона, то есть прологарифмированы.

Исходя из времени на получение всех отсчетов и время на расчет всех амплитуд частота обновления находится в районе 10-15 Гц.

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек , оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?

Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.



рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.